Frobenius Betti 数与有限投射维数模

设 $(R,\mathfrak{m},K)$ 为局部环，$M$ 为有限长度的 $R$-模。我们研究了通过用 Frobenius 映射扭曲 $M$ 的自由解消而定义的渐近不变量 $\beta^F_i(M,R)$。这一族不变量包含了 Hilbert-Kunz 重数（$e_{HK}(\mathfrak{m},R)=\beta^F_0(K,R)$）。我们讨论了这些数的若干性质，它们表现出与 Hilbert-Kunz 重数相似的行为。此外，我们研究了 $\beta^F_i(M,R)$ 的消失何时意味着 $M$ 具有有限投射维数。特别地，我们对一维环上 $\beta^F_i(M,R)$ 的消失给出了完整的刻画。作为我们方法的一个推论，我们给出了不存在有限长度 syzygy 的条件。