具有谐波囚禁的非线性 Schrödinger 方程的渐近行为

我们考虑 $\mathbb{R}^D$ ($1\leq D\leq 5$) 上具有谐波囚禁的三次非线性 Schrödinger 方程。在除一个方向外所有方向均被囚禁的情况下（即所谓的“雪茄形”囚禁），遵循 Hani-Pausader-Tzvetkov-Visciglia 的方法，我们分别针对小初始数据和小终态数据证明了修正散射并构造了修正波算子。渐近行为表现出与线性散射的显著偏离，并由 $\mathbb{R}^{D-1}$ 上完全囚禁的 NLS 方程的共振系统所决定。在物理维度 $D=3$ 中，该系统恰好是 Faou-Germain-Hani 推导并研究的 (CR) 方程。后一方程的特殊动力学，结合上述修正散射结果，使得论证和扩展雪茄形囚禁中 Bose-Einstein 凝聚体理论中的一些物理近似成为可能。