退化抛物型全非线性方程的渐近行为及其在椭圆特征值问题中的应用

我们研究了当 $t\ra \infty$ 且 $m\geq 1$ 时，非线性抛物流 $u_{t}=F(D^2 u^m)$ 的渐近行为，以及以下椭圆非线性特征值问题解的几何性质：F(D^2 \vp) &+ \mu\vp^{p}=0, \quad \vp>0\quad\text{in $\Omega$} \vp&=0\quad\text{on $\p\Omega$}，其中问题定义在 $\re^n$ 中的（严格）凸光滑区域 $\Omega$ 上，且 $0< p \leq 1$，$F(\cdot)$ 是一致椭圆、一阶正齐次且凹的算子。我们证明了在 $p=1$ 的情形下 $\log (\vp)$ 是凹函数，而在 $0<p<1$ 的情形下函数 $\vp^{\frac{1-p}{2}}$ 是凹函数。