用抛物方法研究Gelfand问题的几何性质

我们考虑非线性抛物流 $$(e^{u})_{t}= \La u+\lambda e^u$$ 的渐近轮廓，以展示以下椭圆非线性特征值问题（称为Gelfand问题）的几何性质：\begin{equation*} \begin{split} \La \vp &+ \lambda e^{\vp}=0, \quad \vp>0\quad\text{in $\Omega$}\\ \vp&=0\quad\text{on $\Omega$} \end{split} \end{equation*} 该问题定义在严格凸区域$\Omega\subset\re^n$中。在这项工作中，我们证明存在一个严格递增函数$f(s)$，使得对于$0<\lambda\leq\lambda^{\ast}$，$f^{-1}(\vp(x))$是凸的，即我们证明$\vp$的水平集是凸的。此外，我们还给出了$\vp$的边界条件，该条件保证了解$\vp$的$f$-凸性。