随机游走空间中的 Gelfand 型问题

本文在随机游走空间的框架下处理 Gelfand 型问题 \begin{equation}\label{Gelfand10} \qquad\qquad\left\{\begin{array}{ll} - \Delta_m u = \lambda f(u), \quad&\hbox{in} \ \Omega, \ \lambda >0, \[10pt] u =0, \quad&\hbox{on} \ \partial_m\Omega, \end{array} \right. \end{equation}，其特例包括：在局部有限加权连通图上提出的 Gelfand 型问题，以及由卷积可积核驱动的 Gelfand 型问题。在与局部情况相同的非线性项 $f$ 的假设下，我们证明存在一个极值参数 $\lambda^* \in (0, \infty)$，使得对于 $0 \leq \lambda < \lambda^*$，问题 \eqref{Gelfand10} 存在一个最小有界解 $u_\lambda$，而对于 $\lambda > \lambda^*$ 则无解。此外，假设 $f$ 是凸的，我们证明问题 \eqref{Gelfand10} 在 $\lambda = \lambda^*$ 时存在一个最小有界解。我们还证明 $u_\lambda$ 是稳定的，并且对于严格凸的 $f$，我们证明它们是唯一的稳定解。我们给出简单例子，说明在加权图上求解 Gelfand 型问题时可能出现的多种情况。