厚分形结中半线性抛物型问题解的渐近近似

我们考虑模型平面厚分形结 $\Omega_{\varepsilon}$ 中的半线性抛物型问题，该结是域 $\Omega_{0}$ 与沿 $\Omega_{0}$ 边界上某区间 $\varepsilon$-周期排列的大量相连细树的并集。这些树具有有限数量的分支层级。在第 $i$ 个分支层的分支边界上给定了以下非线性 Robin 边界条件 $\partial_{\nu}v_{\varepsilon} + \varepsilon^{\alpha_i} \kappa_i(v_{\varepsilon}) = \varepsilon^{\beta_i} g^{(i)}_{\varepsilon}$；$\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 为实参数。对该问题的渐近分析是在 $\varepsilon\to0$ 时进行的，即当细树的数量无限增加且其厚度趋于零时。特别是，找到了相应的均质化问题，并证明了其解在多层函数的各向异性 Sobolev 空间中的存在性和唯一性。我们构造了解 $v_\varepsilon$ 的渐近近似，并在空间 $C\big([0,T]; L^2(\Omega_\varepsilon) \big) \cap L^2\big(0, T; H^1(\Omega_\varepsilon)\big)$ 中证明了相应的渐近估计，该估计显示了参数 $\{\alpha_i\}$ 和 $\{\beta_i\}$ 对解的渐近行为的影响。