非球面复曲面、Singer 猜想与 Gromov-Lück 不等式 $\chi \geq |\sigma|$

我们讨论非球面复曲面的 Singer 猜想与 Gromov-Lück 不等式 $\chi \geq |\sigma|$。我们给出了具有剩余有限基本群的非球面复曲面的 Singer 猜想的一个证明，该证明不依赖于 Gromov 的 Kähler 群理论。在无剩余有限性假设下，我们观察到该猜想对所有非球面复曲面均可证，除却可能属于 $\mathrm{VII}_0^+$ 类的那些（全局球壳猜想的肯定回答将排除此类中非球面曲面的存在）。我们还改进了不属于 $\mathrm{VII}_0^+$ 类的非球面复曲面的 Gromov 不等式。这是通过将 Singer 猜想的思想圈与 Reid 猜想的研究相联系而实现的。