右角 Coxeter 群的 \ell ^2--同调的消没定理与猜想
群论
2014-11-11 v1 代数拓扑
几何拓扑
摘要
与任意有限旗复形 L 相关联的有一个右角 Coxeter 群 W_L 以及一个立方复形 \Sigma_L，W_L 在其上真且余紧地作用。它最显著的两个特征是：(1) \Sigma_L 每个顶点的链环为 L，以及 (2) \Sigma_L 是可缩的。由此可知若 L 是 S^{n-1} 的一个三角剖分，则 \Sigma_L 是可缩的 n-流形。我们描述了一个证明 Singer 猜想（关于约化 L^2-同调除中间维外均消没）在 \Sigma_L 情形（其中 L 是 S^{n-1} 的三角剖分）的程序。当 n < 5 时该程序成功。这蕴含了关于 S^3 的旗三角剖分的 Charney-Davis 猜想。它也蕴含 Hopf-Chern 猜想的如下特例：每个具有非正曲率、分段欧几里得、立方结构的闭 4-流形具有非负欧拉示性数。我们的方法提示了如下对 Singer 猜想的推广。猜想：若离散群 G 真作用于可缩 n-流形上，则其 L^2-Betti 数 b_i^{(2)} (G) 对 i>n/2 消没。
引用
@article{arxiv.math/0102104,
title = {Vanishing theorems and conjectures for the, $\ell ^2$--homology of right-angled Coxeter groups},
author = {Michael W Davis and Boris Okun},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0102104},
year = {2014}
}
备注
Published by Geometry and Topology at http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/GTVol5/paper2.abs.html