三维 Coxeter 轨形的几何化与 Singer 猜想

对于任意 Coxeter 系 $(W,S)$，存在一个带标号的单纯复形 $L$ 和一个可缩 CW-复形 $\Sigma_L$（Davis 复形），$W$ 在其上真且余紧地作用。$\Sigma_L$ 允许一种胞腔剖分，使得每个顶点的神经复形均为 $L$。由此可知，若 $L$ 是 $\mathbb{S}^{n-1}$ 的三角剖分，则 $\Sigma_L$ 是一个可缩 $n$-流形。在此情形下，轨道空间 $K_L:=\Sigma_L/W$ 是一个\emph{Coxeter 轨形}。我们证明了一个类似于三维流形 JSJ 分解的结果：每个三维 Coxeter 轨形沿欧几里得子轨形分裂为\emph{特征子轨形}和简单（双曲）部分。由此可得，每个三维 Coxeter 轨形均可分解为具有双曲几何、欧几里得几何或 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 几何的部分（我们排除了球面 Coxeter 轨形的情形）。由此可推出三维情形下 Singer 猜想的一个版本：$\Sigma_L$ 的约化 $\ell^2$-同调为零。