复线丛消没定理的扭曲绝热极限方法

给定一个 $n$ 维紧复 Hermitian 流形 $X$、一个配备连接 $D$ 且其 $(0,\,1)$ 分量 $D''$ 平方为零的 $C^\infty$ 复线丛 $L$，以及 $X$ 上的一个实值函数 $\eta$，我们证明在两个附加假设下，对于满足 $(p>q \hspace{1ex}\mbox{且}\hspace{1ex} p+q\geq n+1)$ 或 $(p<q \hspace{1ex}\mbox{且}\hspace{1ex} p+q\leq n-1)$ 的任意双度 $(p,\,q)$，$L$ 的 $D''$ 上同调群消没。第一个假设要求某个依赖于 $p,\,q$、$D$ 的曲率以及由 $\eta$ 诱导的 $(1,\,1)$ 形式的实值（且不一定是闭的）$(1,\,1)$ 形式正定。第二个假设要求 $\partial\eta$ 的范数相对于 $|\eta|$ 较小。我们还给出了该定理的若干变体，它是通过将我们最近关于复结构的扭曲绝热极限构造推广到复线丛上的连接来证明的。这种对 $D$ 的扭曲诱导了作用于 $L$ 值形式上的一阶微分算子，我们得到了涉及它们形式伴随的交换关系，以及两个扭曲 Laplacian，并为其得到了一个令人联想到经典 Bochner-Kodaira-Nakano 恒等式的比较公式。我们结果的主要特征是 $X$ 不必是 Kähler 的，$L$ 不必是全纯的，且 $X$ 所支持的 $C^\infty$ 函数类型在我们的假设中起关键作用，从而捕获了它们与流形几何之间的一些联系。