几何 Kummer $K3$ 曲面上零循环的局部及局部到全局原理

设 $X$ 为 $p$-adic 域 $k$ 上的 $K3$ 曲面，使得对于某个同构于两条椭圆曲线乘积的阿贝尔曲面 $A$，在 $k$ 的代数闭包上存在 $X$ 与关联于 $A$ 的 Kummer 曲面之间的同构。在关于 $A$ 的椭圆曲线因子的约化类型的某些假设下，我们证明了 $X$ 上次数为 0 的零循环的 Chow 群 $A_0(X)$ 是一个可除群与一个有限群的直和。这证明了 Raskind 和 Spiess 以及 Colliot-Th\'{e}l\`{e}ne 的猜想，并且这是该猜想在 $K3$ 曲面情形下被完全证明的首个实例。这类 $K3$ 曲面包括对角四次曲面等。在良好普通约化的情形下，我们描述了许多可以完全确定 $A_0(X)$ 有限分量的情况。利用这些结果，我们探讨了 Colliot-Th\'{e}lene、Sansuc、Kato 和 Saito 提出的局部到全局猜想，该猜想大致预测 Brauer-Manin 阻碍是零循环弱逼近的唯一阻碍。我们给出了数域 $F$ 上 Kummer 曲面的例子，其中良好普通约化的分歧点对次数为 0 的零循环的 Brauer 集有非平凡贡献，并描述了可以证明无条件局部到全局原理的情况，从而为该猜想在 $K3$ 曲面情形下提供了首个无条件证据。