指数型整函数由三角和逼近

设 $\sigma>0$。对 $1\le p\le \infty$，Bernstein 空间 $B^p_{\sigma}$ 是所有 $f\in L^p(R)$ 且 $f$ 带宽限于 $\sigma$ 的 Banach 空间；即 $f$ 的分布傅里叶变换支撑于 $[-\sigma, \sigma]$。我们研究当 $\tau\to\infty$ 时，$B^p_{\sigma}$ 中的 $f$ 在 $R$ 上的 $L^p$ 范数下由有限三角和 $$P_{\tau}(x)=\chi_{\tau}(x) \sum_{|k|\le \sigma\tau/\pi}c_{k,\tau} e^{i\frac{\pi}{\tau}k x }$$ 逼近，其中 $\chi_{\tau}$ 表示 $[-\tau, \tau]$ 的指示函数。