扩展 $q$-离散 Toda 方程在 Hessenberg 全非负矩阵特征值计算中的应用
可精确求解与可积系统
2022-10-20 v2
摘要
Toda 方程是最著名的 integrable 系统之一，其时间离散化不过是计算三对角矩阵特征值的商-差（qd）算法的递推公式。Toda 方程的一个扩展是 q-Toda 方程，它是通过将标准导数替换为涉及参数 q（0 < q < 1）的所谓 q-导数而导出的。在我们之前的论文中，我们证明了 q-Toda 方程的离散化同样适用于计算三对角特征值。在本文中，我们考虑 q-离散 Toda 方程的另一种扩展，并发现其可应用于计算 Hessenberg 全非负（TN）矩阵的特征值，这类矩阵的所有子式均非负。我们的方法有两个关键组成部分。首先，我们从位移 LR 变换的角度考虑扩展的 q-离散方程，类似于离散 Toda 及其 q-类比的情形。其次，我们通过关注 TN 性质，阐明了 q-离散 Toda 方程中随着离散时间趋于无穷的渐近收敛性。我们还给出了两个数值算例，以数值验证向 Hessenberg TN 特征值的收敛性。
引用
@article{arxiv.2210.05910,
title = {Application of the extended $q$-discrete Toda equation to computing eigenvalues of Hessenberg totally nonnegative matrices},
author = {R. Watanabe and M. Shinjo and Y. Yamamoto and M. Iwasaki},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.05910},
year = {2022}
}