连续 Toda 型方程的性质

我们研究 1+1 维连续 Toda 型方程的一个修正版本。该方程含一个类摩擦项,可通过令自由参数 $\ep$ 湮灭而关闭。我们应用扩充方法、对称与近似对称方法。此策略使我们能洞悉 $\ep =0$ 与 $\ep \ne 0$ 两类方程,并在上述框架中相互比较其性质。对 $\ep =0$,相关扩充方程由某些级数展开解出,导出一个无限维李代数。进而,利用欧氏群 $E_{2}$ 的李代数一个实现,展示了连续 Toda 方程与一线性波动方程间的联系,后者类似于广义 Gibbons-Hawking ansatz \cite{lebrun} 中出现的三维波动方程特例。确定了以 Bessel 函数表示的波动方程非平凡解。对 $\ep\ne\,0,$ 我们得到含四个元素的有限维李代数。该代数的矩阵表示给出与微扰 Liouville 方程约化形式相关联的修正连续 Toda 方程的解。此结果与近似对称方法所得一致。并给出精确解例子。特别地,指数积分函数的反函数由时空平移线性组合导出的约化微分方程所定义。最后讨论了刻画近似对称的李代数。