反对角算子、反对角化、空心拟对角化——酉、正交、置换及其他情形——与对称谱

在总结反对角算子的特征之后，我们推导了刻画可反对角化线性算子的三个直和分解——第一个在置换相似意义下，第二个在相似意义下，第三个在酉相似意义下。每一个都对应唯一的拟对角化。我们证明置换相似直和分解定义了无迹可反对角化算子的空心拟对角化，并给出了实反对称反对角算子的实 Schur 分解。我们利用这一点推导了一般实反对称算子的正交反对角化。我们证明相似直和分解定义了可对角化可反对角化算子的特征分解，并给出了该特征分解的刻画。我们表明它也为一般可反对角化算子定义了 Jordan 标准型。这进而给出了可反对角化算子依据谱性质的进一步刻画，以及将其刻画为无迹 $2 \times 2$ 矩阵之直和，对于奇数维算子另加一个 $1 \times 1$ 矩阵作为附加直和项。我们讨论了这一点对可反对角化算子之平方的性质、既可对角化又可反对角化算子的刻画、可反对角化算子的幂零性、正规反对角算子的酉对角化、对称与反对称反对角化，以及中心对称对角化与反对角化等诸多推论。最后，我们证明酉相似直和分解定义了酉可反对角化算子的 Schur 分解以及一种酉拟对角化。