具有 $U(1)$ 与时间反演对称性的拓扑序的异常指示子

我们研究具有时间反演（$\mathbb{Z}_2^T$）与 $U(1)$ 对称性的拓扑序中的异常。在此背景下，异常拓扑序是指无法在严格 $(2+1)$ 维系统中实现、但可在 $(3+1)$ 维对称性保护拓扑（SPT）相表面实现的拓扑序。为探测这些异常，我们提出若干异常指示子——以对称拓扑序的代数数据为输入、输出指示异常存在与否的数字的函数。我们针对完整对称群两种结构即 $U(1)\rtimes\mathbb{Z}_2^T$ 与 $U(1)\times\mathbb{Z}_2^T$，以及针对玻色与费米拓扑序，构造了此类指示子。在所有情形中我们猜想，我们的指示子是完备的，即它们探测的异常与已知具有相同对称性的 $(3+1)$ 维 SPT 相分类一一对应。我们还表明，我们的一个针对玻色拓扑序的指示子具有数学解释：作为体 $(3+1)$ 维 SPT 相在 particular 流形上、且存在 $U(1)$ 对称性的特定背景规范场时的配分函数。