分析 $\mathbb{C}^n$ 中一类蛋形域上的Wu度量 -- I

我们研究形如 $$E_{2m} = \big\{ z \in \mathbb{C}^n : \vert z_1 \vert^{2m} + \vert z_2 \vert^2 + \ldots + \vert z_{n-1} \vert^2 + \vert z_n \vert^{2} <1 \big\}$$ 的凸蛋域上的Wu度量，其中 $m \geq 1/2, m \neq 1$。结果表明，Wu度量处处实解析，除在一个低维子簇上它不为 $C^2$-光滑。但总体而言，Wu度量在 $m=1/2$ 时连续，且对每个 $m>1/2$ 甚至是 $C^1$-光滑的，并且在所有情况下，都是一个非K\"ahler的Hermitian度量，其全纯曲率在电流意义下强负。这针对此类 $E_{2m}$ 给出了对S. Kobayashi和H. Wu猜想的一个自然回答。