$\mathcal{A}-\mathcal{T}$平面中高斯过程的解析表示

由Hurst指数$H$与时间序列长度$n$参数化的闭式表达式，针对由转折点比例$\mathcal{T}$与Abbe值$\mathcal{A}$构成的$\mathcal{A}-\mathcal{T}$平面中的分数布朗运动(fBm)与分数高斯噪声(fGn)路径被推导出来。$\mathcal{A}_{\rm fBm}$的精确公式通过Riemann $\zeta$与Hurwitz $\zeta$函数表达。获得了一个非常精确的近似，给出简单的指数形式。讨论了由fGn方差偏离1所引入的有限尺寸效应以及渐近情形。还给出了fBm、fGn与微分fGn的$\mathcal{T}$表达式。同一方法适用于任意高斯过程，被应用于自回归滑动平均过程，推导并以解析形式给出了$\mathcal{A}-\mathcal{T}$平面中可用区域的边界。为说明起见，讨论了若干真实世界示例及生成数据在$\mathcal{A}-\mathcal{T}$平面中的位置。