一类模拟反常扩散随机过程的刻画与模拟

本文研究了一类参数化随机过程，用于模拟快速和慢速反常扩散。这类过程称为广义灰布朗运动（generalized grey Brownian motion, ggBm），由具有平稳增量的自相似过程（H-sssi）组成，并依赖于两个实参数 $\alpha \in (0,2)$ 和 $\beta \in (0,1]$。当 $\alpha \in (0,2)$ 且 $\beta=1$ 时，它包含分数布朗运动；当 $\alpha=\beta \in (0,1)$ 时，它包含时间分数扩散随机过程。后者的边缘概率密度函数由 $\beta$ 阶时间分数扩散方程控制。ggBm 是通过底层概率空间的显式构造来定义的。然而，在本文中我们展示了可以在未指定的概率空间中定义它。为此，我们显式地写出了所有有限维概率密度函数。此外，我们提供了不同的 ggBm 刻画。M-Wright 函数的作用显现出来，它与时间分数扩散方程的基本解相关，是高斯分布的自然推广。进一步，我们展示了 ggBm 可以表示为一个与 M-Wright 函数相关的随机变量与一个独立的分数布朗运动的乘积。这种表示突出了 ggBm 的 $H$-{\bf sssi} 性质，并提供了一种研究和模拟轨迹的方法。为此，我们开发了一种基于分数型偏积分微分方程有限差分近似的随机游走模型。