对固定能量相移反演的 Newton-Sabatier 方案的分析

我们证明 Newton-Sabatier（NS）过程在如下意义下不能求解带固定能量数据的反散射问题，且不是一种有效的反演方法：1）由 R. Newton 未经推导引入的基本积分方程，一般对某些 $r>0$ 可能不可解，此时 NS 过程失效：它产生一个非局部可积的势。2）R. Newton 所用的 ansatz $(\ast)$ $K(r,s) = \sum^\infty_{l=0} c_l \phi_l (r) u_l (s)$ 是不正确的：对应于一般势的变换算子 $I-K$ 并不具有形如 $(\ast)$ 的 $K$；且 3）可由 NS 过程得到的势之集合 $q \in L_{1,1}$ 在 $L_{1,1}$ 范数下于所有 $L_{1,1}$ 势的集合中不稠密。因此，即便作为带固定能量相移数据的反散射问题的近似求解，也无法为 NS 过程提供正当性。因而，若视 NS 过程为求解反散射问题的方法，其基于不正确的 ansatz，该基本积分方程一般对某些 $r>0$ 不可解且此时过程失效，并且 NS 过程不是一种反演理论：它不能由固定能量相移恢复一般的势 $q \in L_{1,1}$。现设考虑另一问题：给定对应于某势的固定能量相移，求一产生相同相移的势。则 NS 过程同样不能求解此问题：基本积分方程一般对某些 $r>0$ 可能不可解，此时 NS 过程失效。