经典相对论力学中高能下静电磁场中的逆散射问题

我们考虑静电磁场中的多维 Newton-Einstein 方程 $$\eqalign{\dot p = F(x,\dot x), F(x,\dot x)=-\nabla V(x)+{1\over c}B(x)\dot x,\cr p={\dot x \over \sqrt{1-{|\dot x|^2 \over c^2}}}, \dot p={dp\over dt}, \dot x={dx\over dt}, x\in C^1(\R,\R^d),}\eqno{(*)}$$ 其中 $V \in C^2(\R^d,\R)$，$B(x)$ 是 $d\times d$ 实反对称矩阵，其元素为 $B_{i,k}(x)={\pa\over \pa x_i}\A_k(x)-{\pa\over \pa x_k}\A_i(x)$，且对 $x\in \R^d$，$|j| \le 2$，$i=1..d$ 及某个 $\alpha > 1$，有 $|\pa^j_x\A_i(x)|+|\pa^j_x V(x)| \le \beta_{|j|}(1+|x|)^{-(\alpha+|j|)}$。我们给出方程 $(*)$ 在小角散射情形下散射解与散射数据的估计和渐近性。我们证明在高能下散射算子的速度值分量唯一确定 X 射线变换 $P\nabla V$ 和 $PB_{i,k}$（$i,k=1..d$，$i\neq k$）。应用关于 X 射线变换 $P$ 反演的结果，我们得到对 $d\ge 2$，高能下散射算子的速度值分量唯一确定 $(V,B)$。此外我们证明，为散射算子的构型值分量所求得的高能渐近性在 $d\ge 2$ 时不能唯一确定 $V$，在 $d=2$ 时不能唯一确定 $B$，但在 $d\ge 3$ 时能唯一确定 $B$。