多维逆散射问题的新视角

作为演化方程的雏形，我们考虑 Schr"odinger 方程 i (d/dt) \Psi(t) = H \Psi(t)，H = H_0 + V(x)，其中 Hilbert 空间值函数 \Psi(.) 描述系统在空间维数至少为 2 时时刻 t 的状态。动能算符 H_0 可正比于 Laplacian（非相对论量子力学），H_0 = \sqrt{-\Delta + m^2}（相对论运动学，Klein-Gordon 方程），Dirac 算符，或……，而势 V(x) 在 |x| 趋于无穷时以适当方式趋于 0。我们提出一种逆散射问题的几何方法。对于给定的散射算符 S，我们证明了势的唯一性，给出了散射算符高能行为的显式极限，并给出了势的重构公式。我们的数学证明紧密遵循物理直觉。一个关键观察是在高能下波包的平移在相互作用时间内主导于展宽。该方法的推广涵盖例如带磁场的 Schr"odinger 算符、多粒子系统和波方程。