关于多维相对论性 Newton 方程在高能下的逆散射

考虑相对论情形(即 Newton-Einstein 方程)下的 Newton 方程 \eqalign{\dot p = F(x),& F(x)=-\nabla V(x),\cr p={\dot x \over \sqrt{1-{|\dot x|^2 \over c^2}}},& \dot p={dp\over dt}, \dot x={dx\over dt}, x\in C^1(\R,\R^d),}\eqno{(*)} {\rm where\}V \in C^2(\R^d,\R), |\pa^j\_x V(x)| \le \beta\_{|j|}(1+|x|)^{-(\alpha+|j|)} 对 $|j| \le 2$ 及某 $\alpha > 1$。我们对小角散射情形下方程 $(*)$ 的散射解与散射数据给出估计与渐近式。我们证明在高能下散射算子的速度值分量唯一确定 X 射线变换 $PF$。应用关于 X 射线变换 $P$ 反演的结果,我们得到对 $d\ge 2$,高能下散射算子的速度值分量唯一确定 $F$。此外我们表明,为散射算子的位形值分量所找到的高能渐近式并不能唯一确定 $F$。本工作的结果是在将 Novikov [R.G. Novikov, Small angle scattering and X-ray transform in classical mechanics, Ark. Mat. 37, pp. 141-169 (1999)] 的某些结果推广至相对论情形的过程中获得的。