一个单射鞅耦合

我们给出一个单射鞅耦合；具体而言，给定 $\mathbb R$ 上凸序的两个测度 $\mu$ 和 $\nu$，其中 $\nu$ 连续，我们构造一个鞅转移，使得对目标律 $\nu$ 支撑集中的每个 $y$，存在初始律 $\mu$ 支撑集中的唯一 $x$，使得 $x$ 处（部分）质量被转移到 $y$。于是 $\pi$ 有分解 $\pi(dx,dy) = \nu(dy) \delta_{\theta(y)}(dx)$，对某个函数 $\theta$。更精确地，我们构造测度 $\mu$ 和 $\nu$ 的一个鞅耦合 $\pi$，使得存在集合 $\Gamma_\mu$ 满足 $\mu(\Gamma_\mu)=1$，以及 $\pi$ 的分解 $(\pi_x)_{x \in \Gamma_\mu}$（形如 $\pi(dx,dy) = \pi_x(dy) \mu(dx)$），其中令 $\Gamma_{\pi_x}$ 为 $\pi_x$ 的支撑集，则对所有 $y$ 有 $\# \{ x \in \Gamma_\mu : y \in \Gamma_{\pi_x} \} \in \{ 0,1 \}$，且 $\{ y : \# \{ x \in \Gamma_\mu : y \in \Gamma_{\pi_x} \} = 1 \} = supp(\nu)$。此外，若 $\mu$ 连续，则对每个 $x$ 可取 $\Gamma_{\pi_x} = supp(\pi_x)$。然而，我们不能同时要求 $\Gamma_\mu = supp (\mu)$。