哈密顿系统非周期解的指标的定理
微分几何
2007-05-23 v4 泛函分析
摘要
我们考虑一个哈密顿结构六元组，其中 (M,ω) 为辛流形，L 为 M 中拉格朗日子空间的分布，P 为 M 的拉格朗日子流形，H 为 M 上光滑的含时哈密顿函数，Γ:[a,b]→M 为从 P 出发的哈密顿流 Hf 的积分曲线。我们不要求哈密顿函数 H 具有任何凸性。在假设 Γ(b) 不是 P-焦点的条件下，引入由拉格朗日格拉斯曼流形的第一相对同调群给出的 Γ 的 Maslov 指标 μ(Γ)；在一般情形下，μ(Γ) 可计算为沿 Γ 的 P-焦点某种代数计数。我们证明如下指标定理的版本：在适当假设下，限制于 Γ 的适当变分上的拉格朗日作用泛函的 Morse 指标等于 μ(Γ) 与哈密顿量 H 相对于子流形 P 的凸性项之和。当将结果应用于半黎曼流形 (M,g) 的余切丛 M=TM* 及测地哈密顿量 H(q,p)=1/2 g^{-1}(p,p) 的情形时，我们得到了黎曼几何中带有变端点的测地线的著名 Morse 指标定理的半黎曼版本。
引用
@article{arxiv.math/9911047,
title = {An Index Theorem for Non Periodic Solutions of Hamiltonian Systems},
author = {Paolo Piccione and Daniel Victor Tausk},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9911047},
year = {2007}
}
备注
34 pages, LaTeX2e, amsart class. This is the final version of the paper; it will appear in the Proceedings of the London Mathematical Society