慢-快哈密顿系统与Painlevé方程的几何学

在本文的第一部分，我们引入描述光滑流形上慢-快哈密顿系统所需的一些几何工具。我们从一个正则（即常秩）泊松流形 $(M,\omega)$ 在光滑辛流形 $(B,\lambda)$ 上的光滑泊松丛 $p: M\to B$ 开始，该丛的叶状结构与 $M$ 上由泊松结构生成的辛叶状结构一致。这对任意正小 $\varepsilon$ 在 $M$ 上定义了一个奇异辛结构 $\Omega_{\varepsilon}=$ $\omega + \varepsilon^{-1}p^*\lambda$，其中 $p^*\lambda$ 是 $M$ 上2-形式 $\lambda$ 的拉回。给定 $M$ 上的光滑哈密顿量 $H$，就得到了关于 $\Omega_{\varepsilon}$ 的慢-快哈密顿系统。我们定义该系统的慢流形 $SM$。假设 $SM$ 是光滑子流形，我们在 $SM$ 上定义慢哈密顿流。本文第二部分处理 $p$ 在 $SM$ 上限制奇点及其与系统在奇点附近描述的关系。结果表明，若 $\dim M = 4,$ $\dim B = 2$ 且哈密顿函数 $H$ 是通有的，则系统在折叠型奇点附近的行为在主近似下由方程 Painlevé-I 描述，而如果奇点是尖点，则相关方程为 Painlevé-II。对于具有一个半自由度的特定类型哈密顿系统，这一事实早由 R.Haberman 发现。