余切丛上哈密顿系统的 Conley 猜想及其拉格朗日系统的类比

在本文中，我们证明了关于无边界 $C^3$ 光滑紧流形 $M$ 的余切丛上 $C^1$-哈密顿系统的 Conley 猜想，该系统由时间 1-周期、$C^2$-光滑、强凸且在纤维上具有二次增长的哈密顿量 $H:\R\times T^\ast M\to\R$ 定义。Conley 猜想近期已由 Franks 和 Handel \cite{FrHa}（针对正亏格曲面）、Hingston \cite{Hi}（针对环面）以及 Ginzburg \cite{Gi}（针对闭辛渐近平坦流形）证明。具体而言，我们表明此类哈密顿系统存在无限多个可缩的整周期解序列，其中任何一个解都不能通过其他解的迭代得到。如果 $H$ 还满足对任意 $(t,q, p)\in\R\times T^\ast M$ 有 $H(-t,q, -p)=H(t,q, p)$，则表明该哈密顿系统的时间 -1 映射（若存在）在 $T^\ast M$ 的零截面上拥有无限多个周期点。如果 $M$ 是 $C^5$ 光滑且 $\dim M>1$，$H$ 为 $C^4$ 类且不依赖于时间 $t$，则对任意 $\tau>0$，相应系统存在无限多个可缩周期解序列，其周期为 $\tau$ 的整数倍，且其中任何一个解都不能通过其他解的迭代或旋转得到。这些结果是通过证明 $H$ 的 Fenchel 变换对应的拉格朗日系统 $L:\R\times TM\to\R$ 的类似结果而获得的，该拉格朗日系统被证明是强凸的且在速度上具有二次增长。