Morse-Sturm 系统的广义指标定理及其在半黎曼几何中的应用

我们证明了对形为 $-V''+RV=0$ 的 Morse-Sturm 系统指标定理的一个推广，其中 R 关于一个（非正）对称双线性形式是对称的，从而相应的微分算子不是自伴的。该结果随后被应用于洛伦兹流形中沿测地线的 Jacobi 方程，得到了具有可变初始端点的洛伦兹测地线 Morse 指标定理的推广。给定洛伦兹流形 (M,g)，我们考虑 M 中从光滑子流形 P 出发且正交于 P 的测地线 $\gamma$。在适当的假设下——例如当 (M,g) 为平稳流形时即满足——该定理给出了作用泛函 f 在 $\gamma$ 处的二阶变分指标与 $\gamma$ 的 Maslov 指标（马斯洛夫指标）和 P 上度量 g 的指标之和的等式。在一般情形下，$\gamma$ 的 Maslov 指标由沿 $\gamma$ 的 P-焦点个数的代数计数给出。利用 Maslov 指标，我们得到了平稳洛伦兹流形中两固定点之间测地线的全局 Morse 关系。