半黎曼测地线共轭点的分布

Helfer 在 [Pacific J. Math. 164/2 (1994), p. 321--350] 中首次给出了具有连续统个共轭点的类时洛伦兹测地线的例子。在本文中我们证明了如下结果：给定 $\mathbb{R}$ 的一个区间 $[a,b]$ 以及包含在 $]a,b]$ 中的 $\mathbb{R}$ 的任意闭子集 $F$，则存在一个洛伦兹流形 $(M,g)$ 和一条类空测地线 $\gamma:[a,b]\to M$，使得 $\gamma(t)$ 沿 $\gamma$ 与 $\gamma(a)$ 共轭当且仅当 $t\in F$。