独立集上佩尔ón 向量的指数级小间隙

经典结果表明，若连通图G的佩尔ón 向量为单位向量x，则任一独立集S满足∑_{v∈S} x_v² ≤ 1/2，等号成立当且仅当G为二分图且S为一侧集合。设χ(G)= k为G的色数。格雷戈里的著名猜想断言，任一独立集S满足1/2 - ∑_{v∈S}x_v² = Ω((k/n)^{1/2})。最近，刘和宁 [J. Combin. Theory Ser. B 176 (2026)] 通过构造图G和独立集S，使1/2 - ∑_{v∈S}x_v² = O(k^5/n^3) 来反驳格雷戈里猜想，并 conjectured该界限在常数因子上呈tight。本文首先表明，任一奇数n≥7的循环图C_n均为格雷戈里猜想的简单反例。其次，我们证明，任一独立集S满足1/2 - ∑_{v∈S}x_v² = q/(4λ -2q)，其中λ为G的谱半径，q为向量x在S̄ :=V(G)\S上受限的鲁莱切分商。第三，我们构造一个色数可任意大的图，并找到一个独立集S，使得∑_{v∈S}x_v²可无限接近1/2，间隙为指数级小。我们的构造表明，不存在形如Ω(k^α/n^β)的普遍下界，其中α, β >0。这彻底以否定方式解决了格雷戈里的原始猜想以及刘和宁的修正猜想。最后，我们证明了构造的tight性，并给出一些局部加权下界。