平面上的端点 Alexandrov-Bakelman-Pucci 估计

针对拉普拉斯算子的经典 Alexandrov-Bakelman-Pucci 估计表述为 $$\max_{x \in \Omega}{ |u(x)|} \leq \max_{x \in \partial \Omega}{|u(x)|} + c_{s,n} \mbox{diam}(\Omega)^{2-\frac{n}{s}} \left\| \Delta u\right\|_{L^s(\Omega)}$$ 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$，$u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ 且 $s > n/2$。该不等式在 $s = n/2$ 时失效。Milman 与 Pustylink 的 Sobolev 嵌入结果（最初在不同语境中表述）蕴含一个端点不等式：若 $n \geq 3$ 且 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 有界，则 $$\max_{x \in \Omega}{ |u(x)|} \leq \max_{x \in \partial \Omega}{|u(x)|} + c_n \left\| \Delta u\right\|_{L^{\frac{n}{2},1}(\Omega)},$$ 其中 $L^{p,q}$ 是 $L^p$ 的 Lorentz 空间精细化。该不等式在 $n=2$ 时失效，我们证明了一个尖锐的替代结果：存在 $c>0$ 使得对所有具有有限测度的 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ $$\max_{x \in \Omega}{ |u(x)|} \leq \max_{x \in \partial \Omega}{|u(x)|} + c \max_{x \in \Omega} \int_{y \in \Omega}{ \max\left\{ 1, \log{\left(\frac{|\Omega|}{\|x-y\|^2} \right)} \right\} \left| \Delta u(y)\right| dy}.$$ 这在一定程度上对偶于经典 Trudinger-Moser 不等式；我们也注意到它比 Orlicz 空间中给出的通常估计更尖锐，证明是无重排的。拉普拉斯算子可替换为散度形式的一致椭圆算子。