非有理光滑谱曲面的惊人例子

在本文中，我们构造了满足以下条件的一般型光滑射影曲面的首批例子：1) 一条丰富积分曲线 $C$，满足 $C^2=1$ 且 $h^0(X,O_X(C))=1$；2) 一个除子 $D$，满足 $(D, C)_X=g(C)-1$，$h^i(X,O_X(D))=0$，$i=0,1,2$，且 $h^0(X, O_X(D+C))=1$。此类条件源于 $\hat{D}$（两个变量的偏微分算子代数的一个完备化，可视为流形上解析拟微分算子代数的一个简单代数类比）中秩一非平凡交换子代数存在的充要条件。我们通过阐述第二作者关于 $\hat{D}$ 中交换子代数的分类定理在秩一子代数情形下的结果，提取出这些条件。令人惊讶的是，具有此类谱曲面的交换子代数不容许等谱变形。