Alexandrov 空间中的 Allard 内部 $\varepsilon$-正则性定理

在本文中，我们在具有双侧有界内蕴截面曲率的 $n$ 维 Alexandrov 空间中，证明了对于具有 $L^p_{loc}$ 广义平均曲率的 $m$ 维 varifolds 的 Allard 内部 $\varepsilon$-正则性定理，其中 $p \in \mathbb{R}$ 满足 $p>m$。我们首先在度量张量至少为 $\mathcal{C}^2$ 类的 $n$ 维 Riemann 流形中的 varifolds 情况下，不使用 Nash 等距嵌入定理给出该定理的内蕴证明。这种方法提供了仅依赖于 $n$、$m$、内蕴半径和截面曲率界限的显式可计算常数，这对于证明我们的主定理至关重要，因为我们是在具有正内蕴半径下界和双侧截面曲率界、且赋予 $\mathcal{C}^{1,\alpha}$ 拓扑（对每个 $\alpha \in ]0,1[$，事实上对足够大的合适 $q$ 使用 $W^{2,q}$ 拓扑即可）的 Riemann 流形的拓扑空间中通过密度论证来建立主定理的。