广义弦上的代数结构

基于流形 $P$ 的花环是一组同胚于 $P$ 的流形的有限集合,其中部分流形在标记点处粘合。固定流形 $M$,考虑所有基于 $P$ 的花环到 $M$ 的光滑映射的空间 $\NN$。我们在边缘同调群 $\bor_*(\NN)$ 上构造运算 $\bullet$ 与 $[-,-]$,使 $\bor_*(\NN)$ 具有自然的分次交换结合代数与分次 Lie 代数结构。我们还构造 $\bor_*(\NN)$ 的两个自同态 $\pr$ 与 $\li$,使得对所有 $\alpha_1, \alpha_2 \in \bor_*(\NN)$ 有 $\pr(\li \alpha_1\bullet \li \alpha_2)= [\alpha_1, \alpha_2]$。若 $P$ 为边界,则 $\pr \circ \li=0$,从而对 $\Delta=\li \circ \pr$ 有 $\Delta^2=0$。我们证明在某些条件下,运算 $\Delta$ 与 $\bullet$ 在 $\bor_*(\NN)$ 上给出 Batalin-Vilkoviski 与 Gerstenhaber 代数结构。当 $P=S^1$ 的特殊情形,代数 $\bor_*(\NN)$ 与 Chas 和 Sullivan 构造的弦同调代数相关。