弦括号与平坦联络

设 $G \to P \to M$ 是闭的定向流形 $M$（维数 $m=2d$）上的平坦主丛。我们构造一个李代数映射 \Psi: \H_{2\ast} (L M) \to {\o}(\Mc)，其中 \H_{2\ast} (LM) 是 $LM$（即 $M$ 的自由环路空间）的等变同调的偶维部分，$\Mc$ 是分次微分李代数 $\Omega^\ast (M, \adp)$（取值于 $P$ 的伴随丛的微分形式）的 Maurer-Cartan 模空间。对于二维流形 $M$，我们的李代数映射化为 Goldman 在 \cite{G2} 中构造的映射。我们在讨论中依据线性约化李群 $G$ 的选择，处理了 \H_{2\ast}(LM) 上的不同李代数结构。