弦拓扑 BV 代数、Hochschild 上同调与曲面上的 Goldman 括号

1999 年 Chas 与 Sullivan 发现,闭定向光滑流形 $X$ 上自由环路空间同调 $H_*(LX)$ 具有称为弦拓扑的丰富代数结构。他们证明了 $H_*(LX)$ 自然是一个 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数。已有若干猜想将弦拓扑 BV 代数与流形 $X$ 相关代数的 Hochschild 上同调上的代数结构相联系,但无一在维数 $n>1$ 的流形上被验证。本文研究 $X$ 为非球面(即其同伦群 $\pi_i(X)$ 对 $i>1$ 消失)时的弦拓扑。此时,$X$ 基本群群代数 $A$ 的 Hochschild 上同调 Gerstenhaber 代数 $HH^*(A)$ 具有 BV 结构。我们的主要结果是建立 Hochschild 上同调 BV 代数 $HH^*(A)$ 与弦拓扑 BV 代数 $H_*(LX)$ 之间自然同构的定理。特别地,对双曲型闭定向曲面 $X$,我们得到了用 $X$ 上环路的 Goldman 括号对 $H_*(LX)$ 与 $HH^*(A)$ 上 BV 代数运算的完全描述。此前已知 $H_*(LX)$ 上 BV 代数结构的流形仅有球面与复 Stiefel 流形。我们的证明基于拓扑与代数构造的结合,使我们计算并比较 $H_*(LX)$ 与 $HH^*(A)$ 上的乘法与 BV 算子。