Hochschild 上同调上的 Batalin-Vilkovisky 代数结构

设 $M$ 为任意紧致单连通 $d$ 维光滑流形，$\mathbb{F}$ 为任意域。我们证明了 $M$ 的奇异上链上的 Hochschild 上同调 $HH^*(S^*(M);S^*(M))$ 的 Gerstenhaber 代数结构可扩展为 Batalin-Vilkovisky 代数。此类 Batalin-Vilkovisky 代数曾被猜想存在，且预期同构于 Chas 和 Sullivan 引入的 $M$ 上自由环路空间同调 $H_{*+d}(LM)$ 上的 Batalin-Vilkovisky 代数。我们还证明了负循环上同调 $HC^*_-(S^*(M))$ 具有 Lie 括号。该 Lie 括号预期与等价同调 $H_*^{S^1}(LM)$ 上的 Chas-Sullivan 弦括号一致。