开闭场论、弦拓扑与 Hochschild 同调
代数拓扑
2009-06-30 v1 辛几何
摘要
在这篇综述性论文中，我们讨论了一个关于流形弦拓扑的项目，该项目的灵感来自 Moore-Segal、Costello 以及 Hopkins 和 Lurie 关于“开闭拓扑共形场论”的最新工作。给定一个闭定向流形 M，我们描述了“弦拓扑范畴” S_M，该范畴在固定域 k 上的链复形上丰富。S_M 的对象是 M 的连通、闭、定向子流形 N，而 N_1 和 N_2 之间的态射复形是一个链复形，同伦等价于奇异链 C_*(P_{N_1, N_2})，其中 C_*(P_{N_1, N_2}) 是 M 中起点在 N_1 且终点在 N_2 的路径空间。该范畴中的复合配对是 Sullivan 提出并由 Harrelson 和 Ramirez 扩展的开弦拓扑运算的链模型。我们将描述一个计算，该计算表明范畴 S_M 的 Hochschild 同调是自由环路空间 LM 的同调。该项目的另一部分是计算当 M 单连通时，开弦拓扑链代数 C_*(P_{N,N}) 的 Hochschild 上同调，并将所得计算与 H_*(LM) 联系起来。我们还讨论了上述结果和计算的谱层次类比，以及它们与余切丛 T^*M 的各种 Fukaya 范畴的关系。
引用
@article{arxiv.0906.5198,
title = {Open-closed field theories, string topology, and Hochschild homology},
author = {Andrew J. Blumberg and Ralph L. Cohen and Constantin Teleman},
journal= {arXiv preprint arXiv:0906.5198},
year = {2009}
}
备注
25 pages, 11 figures. To appear in, "Alpine perspectives on algebraic topology", edited by C. Ausoni, K. Hess, and J. Scherer, Contemp. Math., AMS