代数非交换几何

本文定义了一个称为代数非交换几何的非交换代数 $A$，其中心带有一个参数 $\epsilon$。当 $\epsilon$ 设为零时，得到代数流形 $M$ 上代数函数的交换代数 $A^0$。该 $A^0$ 是 $C(M)$ 的一个子代数，且当 $M$ 紧致时它是稠密的。$A$ 的生成元定义了 $M$ 到 $R^n$ 的一个浸入，并且 $M$ 作为一个换位子的极限继承了一个 Poisson 结构。因此 $A$ 是 Poisson 流形的量子化。若对 $A$ 规定一个排序约定，则可得到 $M$ 上的一个星积。本文定义了非交换几何之间的同态与同构，并利用从 $A$ 到 Heisenberg 代数的映射既给出了坐标卡的一个类似物，又赋予了 $A$ 一个量子群结构。本文给出了代数非交换几何的若干例子，包括 $R^n$、$T^\star S^2$、$T^2$、$S^2$ 以及旋转曲面。本文给出了 $M$ 上可推广到非交换几何的度量定义，并将其应用于非交换几何在曲面数值分析中。