$C_3\oplus C_{3q}$ 的加法基

设 $G$ 为有限阿贝尔群,$p$ 为整除 $|G|$ 的最小素数。设 $S$ 为 $G$ 上的序列。若对每个真子群 $H \subsetneq G$,$S$ 包含来自 $H$ 的项至多 $|H|-1$ 个,则称 $S$ 为正则的。令 $\mathsf c_0(G)$ 为最小整数 $t$,使得每个长度为 $|S|\geq t$ 的 $G$ 上正则序列构成 $G$ 的一个加法基,即 $\sum(S)=G$。不变量 $\mathsf c_0(G)$ 于 1980 年代由 Olson 和 Peng 首次研究,此后除秩为 2 的群以及少数秩为 3 或 4 且阶小于 $10^8$ 的群外,已对所有有限阿贝尔群确定。本文关注涉及秩为 2 的群的剩余情形。第一作者与 Han (Int. J. Number Theory 13 (2017) 2453-2459) 猜想当 $G=C_p\oplus C_{pn}$ 且 $n\geq 3$ 时 $\mathsf c_0(G)=pn+2p-3$。我们确认了 $p=3$ 且 $n=q\,(\geq 5)$ 为素数时的猜想。