哈密顿动力学中的作用量与指标谱及周期轨道

本文的主题是哈密顿系统无穷多周期轨道的存在性与其作用量或指标谱在迭代下的行为之间的联系。我们利用作用量和指标谱证明，任何具有零第一陈类的闭有理流形上的哈密顿微分同胚都有无穷多个周期轨道，并且对于一般的有理流形，几何上不同的周期轨道的数目由最小陈数与维数一半的比值给出下界。这些对 Conley 猜想的推广源于本文证明的另一个结果：在闭有理流形上具有辛退化极大值的哈密顿微分同胚有无穷多个周期轨道。我们还证明，对于一大类流形和/或哈密顿微分同胚，最小作用量-指标间隙在某个无穷迭代序列中保持有界，并且作为一个推论，只要一个哈密顿微分同胚只有有限多个周期轨道，这些轨道的作用量和平均指标就必须满足某种关系。此外，对于恰好有 n+1 个周期轨道的 n 维复射影空间的哈密顿微分同胚，一个更强的结果成立。即，对于这样的哈密顿微分同胚，周期轨道上的作用量与平均指标之差与轨道无关，前提是射影空间上的辛结构被归一化到与第一陈类处于同一上同调类中。