Cesàro 极限的积分理论

Cesàro 极限——实数序列的渐近平均——是概率、统计与分析中具有根本重要性的算子。令人惊讶的是，具有 Cesàro 极限的序列空间此前尚未被研究。本文引入此类序列的空间，记为 $K_p(\mathcal{A})$，并将 Cesàro 极限视为一种积分。首先研究由所有具有 Cesàro 极限的二元序列构成的空间 $\mathcal{F}$，以及将每个此类序列映射到其 Cesàro 极限的关联泛函 $\nu: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$。我们证明 $\mathcal{F}$ 可分解以产生一个单调类，在其上 $\nu$ 诱导出一个可数可加集函数。随后定义空间 $K_p(\mathcal{A})$，并证明在特定条件下其商空间 $\mathcal{K}_p(\mathcal{A})$ 与函数空间 $\mathcal{L}_p(\mathbb{N},\mathcal{A},\nu)$ 等距同构，其中 $\mathcal{A}$ 是与 $\mathcal{F}$ 的某个子集同构的集域，$\nu$ 是由上述泛函诱导的有限可加测度。我们证明 $K_p(\mathcal{A})$ 中元素的 Cesàro 极限等于其积分。刻画了完备的 $\mathcal{L}_p(\mathbb{N},\mathcal{A},\nu)$ 空间（进而与之同构的 $\mathcal{K}_p(\mathcal{A})$ 空间），并给出了这些空间可分的充分条件。