Dunkl 情形下 Hardy 空间上的 Cesàro 算子（$\frac{2\lambda}{2\lambda+1}<p<\infty$）

对于 $p>\frac{2\lambda}{2\lambda+1}$ 且 $\lambda>0$，与 Dunkl 变换 $\mathscr{F}_\lambda$ 及线上的 Dunkl 算子 $D_x$ 相关联的 Hardy 空间 $H_{\lambda}^{p}(\mathbb{R}^{2}_+)$，其中 $D_xf(x)=f'(x)+\frac{\lambda}{x}[f(x)-f(-x)]$，是上半平面 $\mathbb{R}_+^2=\big\{(x, y): y>0\big\}$ 上满足 $\lambda$-Cauchy-Riemann 方程 $D_xu-\partial_y v=0, \partial_y u +D_xv=0$ 且 $\sup_{y>0}\int_{\mathbb{R}}|F(x, y)||x|^{2\lambda}dx<0$ 的函数 $F=u+iv$ 的集合。本文将研究 Ces\`{a}ro 算子在 $H_{\lambda}^{p}(\mathbb{R}^{2}_+)$ 上的有界性。我们将证明如下不等式 $$\|C_{\alpha}f\|_{H_{\lambda}^p(\mathbb{R}_+^2)}\leq C\|f\|_{H_{\lambda}^p(v_+^2)},$$ 对 $\frac{2\lambda}{2\lambda+1}< p<\infty$ 成立，其中 C 依赖于 $\alpha$、$p$、$\lambda$，且 Ces\`{a}ro 算子 $C_{\alpha}$ 的平均函数为 $\phi_{\alpha}(t)=\alpha(1-t)^{\alpha-1}$（$\alpha>0$）。