多边形上平移不变算子的 Szegő 极限定理

我们证明了多边形上平移不变算子的 Szegő 型迹渐近。更确切地说，考虑 $\mathsf{L}^2(\mathbb{R}^2)$ 上由充分衰减的光滑符号 $\sigma:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 定义的傅里叶乘子 $A=\mathcal{F}^\ast \sigma \mathcal{F}$。设 $P\subset \mathbb{R}^2$ 为多边形的内部，对 $L\geq 1$ 定义其缩放版本 $P_L:=L\cdot P$。随后我们研究算符 $A_{P_L}=\chi_{P_L}A\chi_{P_L}$（即 $A$ 在 $P_L$ 上的空间限制）的谱渐近：对满足 $h(0)=0$ 的整函数 $h$，我们给出当 $L\to\infty$ 时 $\operatorname{tr}h(A_{P_L})$ 的完整渐近展开。这些迹渐近由反映多边形几何的三项组成。若 $P$ 被具有光滑边界的域替代，迹的完整渐近展开已知逾 30 年。然而，对多边形而言，渐近中常数项的公式尚属新颖。特别地，我们证明多边形的每个角产生额外贡献；作为结果，常数项呈现出类似于 Dirichlet 拉普拉斯算子热迹渐近的异常。