非线性扩散中质量守恒、自相似及相关主题综述

我们考察非线性扩散理论中若干典型方程解的质量守恒原理的有效性，包括标准微分形式方程及其分数阶对应方程。在第1部分（含前9节）中，我们以热方程、多孔介质方程与$p$-Laplacian方程为主要示例。尽管这些方程具有守恒律形式，但在某些指数范围内，定义于整个欧氏空间的解会随时间损失质量。从一开始我们便关注质量守恒的有效性、有限质量自相似解的存在，以及它们在更一般解类渐近行为中的作用之间的紧密联系。描述这种联系的程度是全文的主线。当质量守恒不成立时，我们转而考察其被极端替代——有限时间熄灭——所取代的情形，这是一个非常令人惊讶的事实。后续章节将详细研究扩展至当前文献中占据重要地位的其他模型。因此，第2部分的3节致力于讨论若干分数阶非线性扩散方程的质量守恒，其中我们综述了相关状况并证明了一系列新定理。随后第3部分对标量守恒律进行类似研究，呈现出惊人的相似性。我们在第4部分以对相关方程与主题的较长回顾作结。本综述包含广泛文献目录。