R^N 中亚线性情形下的分数阶 p-Laplacian 演化方程

我们考虑定义在整体欧几里得空间中的自然含时分数阶 $p$-Laplacian 方程,参数为 $1<p<2$ 且分数阶指数 $s\in (0,1)$。相当标准的理论表明,对于 Lebesgue $L^q$ 空间中的初值,Cauchy 问题适定,且解构成一族非扩张半群,具有正则性及其他有趣性质。超线性情形 $p>2$ 已在近期一篇论文中处理。我们在此研究更为复杂的“快速” regime $1<p<2$。作为主要结果,我们针对每个质量值 $M$ 以及子区间 $p_c=2N/(N+s)<p<2$ 中的任意 $p$ 构造了自相似基本解,并证明这正是其基本解可能存在的精确范围。我们还证明一般有限质量解收敛于具有相同质量的基本解,且收敛在所有 $L^q$ 空间中成立。获得了以全局 Harnack 不等式形式的精细估计。本文另一主要课题是研究具有强奇异性的解。我们找到了一种称为极奇异解的奇异解类型,其存在于 $p_c<p<p_1$,其中 $p_1$ 是我们引入的新临界数,$p_1\in (p_c,2)$。我们将此类奇异解扩展至“极快速范围” $1<p<p_c$。它们代表了在该较低 $p$ 范围内具有有限时间熄灭的弱解实例。我们简要考察了极限情形 $p=p_c$ 的情况。最后,极奇异解与分数阶椭圆型非线性特征值形式的问题相关联。