向量情形下非局部上确界泛函下半连续性的一个充分条件

在本注记中，我们给出一个充分条件，以保证如下类型的非局部上确界泛函的下半连续性：$$W^{1,\infty}(\Omega;\mathbb R^d)\ni u \mapsto \sup{\rm ess}_{(x,y)\in \Omega} W(x,y, \nabla u(x),\nabla u(y)),$$其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^N$ 的有界开子集，且 $W:\Omega \times \Omega \times \mathbb R^{d \times N}\times \mathbb R^{d \times N} \to \mathbb R$。