Sobolev 框架下的一维非局部上确界泛函的松弛

我们给出了密度 $W:\mathbb R^d\times\mathbb R ^d\to\mathbb R$ 的充分必要条件，以确保泛函 $J: W^{1,\infty}(I;\mathbb R^d)\to \mathbb R$ 的顺序弱*下半连续性，其中 $J$ 定义为 \begin{align*} J(u):=ess\,sup_{I\times I}W(u'(x), u'(y)), \end{align*} 这里 $I$ 是 $\mathbb R$ 中的有界开区间。我们还证明，当 $d=1$ 时，$I$ 的下半连续包络一般可通过将 $W$ 替换为其分别的水平凸包络得到。