基于三对角 Toeplitz 相似变换的repunits谱积公式

对于 $b>0$ 和 $n\geqslant 1$，我们考虑具有对角线条目为 $b+1$、超对角线条目为 $1$ 和亚对角线条目为 $b$ 的 $n\times n$ 三对角矩阵 $V_n(b)$。一个对角相似变换将 $V_n(b)$ 降简为对称三对角 Toeplitz 矩阵，从而使其谱可显式求出。由于 $\det\left(V_n(b)\right)$ 等于几何级数 $1+b+\cdots+b^{n}$，取行列式可得该数的有限余弦积求值。作为进一步的推论，我们从极端特征值导出紧致界限，给出关于自然加权内积的显式特征向量，并获得 $V_n(b)^{-1}$ 的闭式公式。