一种逼近带状Toeplitz矩阵特征值极限集的几何方法

本文研究带状Toeplitz矩阵极限集的求解问题。我们的主要成果是逼近极限集 $\Lambda(b)$ 的一种新方法，其中 $b$ 为带状Toeplitz矩阵的符号。该新方法具有几何性质，并基于公式 $\Lambda(b) = \cap_{\rho \in (0, \infty)} \text{sp } T(b_\rho)$，其中 $\rho$ 为缩放因子，即 $b_\rho(t) := b(\rho t)$，$\text{sp }(\cdot)$ 表示谱。我们证明，完整的相交可由有限个 $\rho$ 对应的相交来逼近，且 $\text{sp } T(b_\rho)$ 的多边形逼近之相交给出了 $\Lambda(b)$ 的逼近多边形，该多边形在Hausdorff度量下收敛于 $\Lambda(b)$。进一步，我们证明可略微扩张 $\text{sp } T(b_\rho)$ 的多边形逼近以确保其包含 $\text{sp } T(b_\rho)$。于是，取相交得到 $\Lambda(b)$ 的逼近超集，其在Hausdorff度量下收敛于 $\Lambda(b)$，且保证包含 $\Lambda(b)$。将已有的代数（求根）方法与我们的逼近超集相结合，我们能够给出到真实极限集的Hausdorff距离的显式界。我们用Python实现该算法并进行了测试。其性能与现有算法相当，且在部分情形下更优。我们论证（但未证明）该算法的平均时间复杂度为 $O(n^2 + mn\log m)$，其中 $n$ 为 $\rho$ 的个数，$m$ 为逼近 $\text{sp } T(b_\rho)$ 的多边形顶点数。此外，我们论证对于 $\Lambda(b)$ 的大部分，到逼近多边形与逼近超集的距离随 $O(1/\sqrt{k})$ 减小，其中 $k$ 为算法所需的基本操作数。